\(a;b;c\ge0;a+b+c=1\Rightarrow a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)

\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)

\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}+\sqrt{\left(b+2\right)^2}+\sqrt{\left(c+2\right)^2}\)

\(=a+b+c+2+2+2=7\)

\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của (0;0;1)

nè Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằngcăn(5a + 4) + căn(5b + 4) + căn(5c + 4) >= 7- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow0\le a;b;c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)

\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)

\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)

\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=a+2+b+2+c+2=7\)

\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của 0;0;1

Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).

Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).

Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).

Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.

Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0. 

Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)

Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$

Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)

Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)

rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.

Không biết còn cách nào khác không nhỉ?

Tìm trước khi hỏi : 

Đề vòng 1 chuyên sư phạm 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học

Witch Rose

a,b,c" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b,c không âm và a+b+c=1 nên 2≤t=5c+4≤3

a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16

⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)

⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2

⇔5a+4+5b+4≥2+9−5c=2+13−t2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔√5a+4+√5b+4≥2+√9−5c=2+√13

Em nghĩ đề là \(a,b,c\ge0\) thì dấu "=" mới xảy ra chứ ạ?Nếu như thế thì có lẽ là như vầy:

Do \(a,b,c\ge0\) và \(a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) (1)

Ta sẽ c/m BĐT phụ: \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\)

\(\Leftrightarrow5a+4\ge a^2+4a+4\)

\(\Leftrightarrow a^2-a\le0\Leftrightarrow a\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le1\) (đúng theo (1)

Tương tự với 2 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge\left(a+b+c\right)+6=7^{\left(đpcm\right)}\)

bài này sai đề vì ta làm dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\).sau đó thay vào biểu thức cần cm thì sẽ thấy vô lí

Đề sai rồi bạn

đè ko sai đâu.

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

Vì a,b,c không âm và có tổng bằng 1 nên

\(0\le a,b,c\le\left\{{}\begin{matrix}a\left(1-a\right)\ge0\\b\left(1-b\right)\ge0\\c\left(1-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge a^2\\b\ge b^2\\c\ge c^2\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\sqrt{5a+4}\ge\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}=a+2\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\)

Do đó: \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge\left(a+b+c\right)+6=7\) (điều phải chứng minh)

CÁCH KHÁC:

Giả sử \(\Sigma_{cyc}\sqrt{5a+4}< 7\)

Có:\(\sqrt{5a+4}\le\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+4+\frac{17}{3}}{2}=\sqrt{\frac{3}{17}}.\frac{5a+\frac{29}{3}}{2}\)\(=\sqrt{\frac{3}{17}}.\left(\frac{5}{2}a+\frac{29}{6}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{\frac{3}{17}}\left[\frac{5}{2}\Sigma a+\frac{29}{2}\right]\)\(=\sqrt{51}>7\)

Ta thấy dấu = có xảy ra (!)
Vậy ta có đpcm.

#Walker